Ejercicios resueltos de intervalo de confianza para diferencia de medias

Cuando se trata de estadística, el intervalo de confianza (IC) es una herramienta muy útil para estimar un parámetro desconocido. En particular, el intervalo de confianza para la diferencia de medias es una técnica muy valiosa para comparar dos grupos y determinar si las medias son estadísticamente diferentes. En este artículo, te proporcionaremos algunos ejercicios resueltos de intervalo de confianza para la diferencia de medias.

Antes de comenzar, es importante entender que el intervalo de confianza es una medida de precisión y no de certeza. Es decir, podemos estar seguros de que la verdadera diferencia de medias cae dentro del intervalo con cierta probabilidad, pero no podemos estar seguros al 100%. Dicho esto, el intervalo de confianza sigue siendo una herramienta muy útil para la toma de decisiones.

Ejercicio 1

Supongamos que queremos comparar las calificaciones de dos grupos de estudiantes. El primer grupo consta de 30 estudiantes y tiene una media de calificación de 80 con una desviación estándar de 10. El segundo grupo consta de 40 estudiantes y tiene una media de calificación de 85 con una desviación estándar de 12. Calculemos el intervalo de confianza al 95% para la diferencia de medias.

En primer lugar, calculemos la diferencia de medias:

Diferencia de medias = media del grupo 2 - media del grupo 1
Diferencia de medias = 85 - 80
Diferencia de medias = 5

A continuación, calculemos el error estándar de la diferencia de medias:

Error estándar = sqrt((desviación estándar del grupo 1^2 / tamaño del grupo 1) + (desviación estándar del grupo 2^2 / tamaño del grupo 2))
Error estándar = sqrt((10^2 / 30) + (12^2 / 40))
Error estándar = 2.87

Ahora podemos calcular el intervalo de confianza:

Intervalo de confianza = diferencia de medias +/- margen de error
Margen de error = valor crítico x error estándar
Valor crítico (para un nivel de confianza del 95%) = 1.96

Margen de error = 1.96 x 2.87
Margen de error = 5.62

Intervalo de confianza = 5 +/- 5.62
Intervalo de confianza = (-0.62, 10.62)

Por lo tanto, podemos afirmar con un nivel de confianza del 95% que la verdadera diferencia de medias se encuentra entre -0.62 y 10.62.

Ejercicio 2

Supongamos que queremos comparar las alturas de dos grupos de personas. El primer grupo consta de 50 personas y tiene una altura media de 170 cm con una desviación estándar de 5 cm. El segundo grupo consta de 60 personas y tiene una altura media de 175 cm con una desviación estándar de 6 cm. Calculemos el intervalo de confianza al 99% para la diferencia de medias.

En primer lugar, calculemos la diferencia de medias:

Diferencia de medias = media del grupo 2 - media del grupo 1
Diferencia de medias = 175 - 170
Diferencia de medias = 5

A continuación, calculemos el error estándar de la diferencia de medias:

Error estándar = sqrt((desviación estándar del grupo 1^2 / tamaño del grupo 1) + (desviación estándar del grupo 2^2 / tamaño del grupo 2))
Error estándar = sqrt((5^2 / 50) + (6^2 / 60))
Error estándar = 1.30

Ahora podemos calcular el intervalo de confianza:

Intervalo de confianza = diferencia de medias +/- margen de error
Margen de error = valor crítico x error estándar
Valor crítico (para un nivel de confianza del 99%) = 2.58

Margen de error = 2.58 x 1.30
Margen de error = 3.35

Intervalo de confianza = 5 +/- 3.35
Intervalo de confianza = (1.65, 8.35)

Por lo tanto, podemos afirmar con un nivel de confianza del 99% que la verdadera diferencia de medias se encuentra entre 1.65 y 8.35.

Ejercicio 3

Supongamos que queremos comparar las velocidades de dos grupos de coches. El primer grupo consta de 20 coches y tiene una velocidad media de 100 km/h con una desviación estándar de 5 km/h. El segundo grupo consta de 25 coches y tiene una velocidad media de 105 km/h con una desviación estándar de 6 km/h. Calculemos el intervalo de confianza al 90% para la diferencia de medias.

En primer lugar, calculemos la diferencia de medias:

Diferencia de medias = media del grupo 2 - media del grupo 1
Diferencia de medias = 105 - 100
Diferencia de medias = 5

A continuación, calculemos el error estándar de la diferencia de medias:

Error estándar = sqrt((desviación estándar del grupo 1^2 / tamaño del grupo 1) + (desviación estándar del grupo 2^2 / tamaño del grupo 2))
Error estándar = sqrt((5^2 / 20) + (6^2 / 25))
Error estándar = 1.90

Ahora podemos calcular el intervalo de confianza:

Intervalo de confianza = diferencia de medias +/- margen de error
Margen de error = valor crítico x error estándar
Valor crítico (para un nivel de confianza del 90%) = 1.645

Margen de error = 1.645 x 1.90
Margen de error = 3.12

Intervalo de confianza = 5 +/- 3.12
Intervalo de confianza = (1.88, 8.12)

Por lo tanto, podemos afirmar con un nivel de confianza del 90% que la verdadera diferencia de medias se encuentra entre 1.88 y 8.12.

Ejercicio 4

Supongamos que queremos comparar las edades de dos grupos de personas. El primer grupo consta de 15 personas y tiene una edad media de 35 años con una desviación estándar de 3 años. El segundo grupo consta de 20 personas y tiene una edad media de 40 años con una desviación estándar de 4 años. Calculemos el intervalo de confianza al 95% para la diferencia de medias.

En primer lugar, calculemos la diferencia de medias:

Diferencia de medias = media del grupo 2 - media del grupo 1
Diferencia de medias = 40 - 35
Diferencia de medias = 5

A continuación, calculemos el error estándar de la diferencia de medias:

Error estándar = sqrt((desviación estándar del grupo 1^2 / tamaño del grupo 1)