Domina los intervalos de confianza con ejercicios resueltos

Los intervalos de confianza son una herramienta fundamental en la estadística para medir la precisión de una muestra y estimar el valor de una población. Aunque su concepto puede resultar complicado al principio, una vez que se comprenden, se pueden aplicar en muchos campos, como en la medicina, la economía y la política. En este artículo, te enseñaremos a dominar los intervalos de confianza con ejercicios resueltos.

¿Qué son los intervalos de confianza?

Los intervalos de confianza son un rango de valores en el cual se espera que se encuentre el valor verdadero de una población. Este rango se basa en una muestra aleatoria de la población y se calcula utilizando la estadística inferencial.

Por ejemplo, si queremos estimar la altura media de los estudiantes de una escuela, podemos tomar una muestra aleatoria de 50 estudiantes y calcular el intervalo de confianza de la altura media. Si el intervalo de confianza es de 165 a 175 cm, podemos estar seguros al 95% de confianza que la altura media de toda la población de estudiantes se encuentra en ese rango.

Cómo calcular un intervalo de confianza

Para calcular un intervalo de confianza, necesitamos conocer la media y la desviación estándar de la muestra, así como el nivel de confianza que deseamos tener. El nivel de confianza se expresa en porcentaje y nos indica la probabilidad de que el verdadero valor de la población se encuentre dentro del intervalo.

Por ejemplo, si deseamos tener un nivel de confianza del 95%, la probabilidad de que el verdadero valor de la población se encuentre dentro del intervalo es del 95%.

Una vez que tenemos estos datos, podemos utilizar una fórmula para calcular el intervalo de confianza:

Intervalo de confianza = media de la muestra ± (valor crítico x error estándar)

El valor crítico se obtiene de una tabla de distribución t de Student y depende del tamaño de la muestra y del nivel de confianza deseado. El error estándar se calcula dividiendo la desviación estándar de la muestra entre la raíz cuadrada del tamaño de la muestra.

Ejemplo de cálculo de intervalo de confianza

Supongamos que queremos estimar la media de la edad de los estudiantes de una universidad con un nivel de confianza del 90%. Tomamos una muestra aleatoria de 100 estudiantes y obtenemos una media de edad de 22 años y una desviación estándar de 3 años.

Para calcular el intervalo de confianza, primero necesitamos obtener el valor crítico de la tabla t de Student. Como el tamaño de la muestra es de 100 y el nivel de confianza es del 90%, el valor crítico es de 1,645.

Luego, calculamos el error estándar:

Error estándar = desviación estándar / raíz cuadrada del tamaño de la muestra
Error estándar = 3 / √100
Error estándar = 0.3

Por último, aplicamos la fórmula del intervalo de confianza:

Intervalo de confianza = media de la muestra ± (valor crítico x error estándar)
Intervalo de confianza = 22 ± (1.645 x 0.3)
Intervalo de confianza = 22 ± 0.494
Intervalo de confianza = 21.506 a 22.494

Por lo tanto, podemos afirmar con un 90% de confianza que la edad media de todos los estudiantes de la universidad se encuentra dentro del intervalo de 21.506 a 22.494 años.

Ejercicios resueltos de intervalos de confianza

Para ayudarte a comprender mejor cómo se calculan los intervalos de confianza, a continuación te presentamos algunos ejercicios resueltos:

Ejercicio 1: Una muestra de 50 estudiantes obtiene una media del 80 en un examen de matemáticas, con una desviación estándar de 6. Calcula el intervalo de confianza del 95% para la nota media de todos los estudiantes.

Solución: Primero, necesitamos obtener el valor crítico de la tabla t de Student. Como el tamaño de la muestra es de 50 y el nivel de confianza es del 95%, el valor crítico es de 2,009.

Luego, calculamos el error estándar:

Error estándar = desviación estándar / raíz cuadrada del tamaño de la muestra
Error estándar = 6 / √50
Error estándar = 0.848

Aplicando la fórmula del intervalo de confianza, obtenemos:

Intervalo de confianza = media de la muestra ± (valor crítico x error estándar)
Intervalo de confianza = 80 ± (2.009 x 0.848)
Intervalo de confianza = 80 ± 1.704
Intervalo de confianza = 78.296 a 81.704

Por lo tanto, podemos afirmar con un 95% de confianza que la nota media de todos los estudiantes se encuentra dentro del intervalo de 78.296 a 81.704.

Ejercicio 2: Una muestra de 200 trabajadores obtiene una media salarial de $1,500 al mes, con una desviación estándar de $200. Calcula el intervalo de confianza del 99% para la media salarial de todos los trabajadores.

Solución: Primero, necesitamos obtener el valor crítico de la tabla t de Student. Como el tamaño de la muestra es de 200 y el nivel de confianza es del 99%, el valor crítico es de 2,576.

Luego, calculamos el error estándar:

Error estándar = desviación estándar / raíz cuadrada del tamaño de la muestra
Error estándar = 200 / √200
Error estándar = 14.142

Aplicando la fórmula del intervalo de confianza, obtenemos:

Intervalo de confianza = media de la muestra ± (valor crítico x error estándar)
Intervalo de confianza = 1,500 ± (2.576 x 14.142)
Intervalo de confianza = 1,500 ± 36.387
Intervalo de confianza = 1,463.613 a 1,536.387

Por lo tanto, podemos afirmar con un 99% de confianza que la media salarial de todos los trabajadores se encuentra dentro del intervalo de $1,463.613 a $1,536.387 al mes.

Conclusión

Los intervalos de confianza son una herramienta esencial en la estadística para estimar el valor de una población y medir la precisión de una muestra. Al entender cómo se calculan, puedes aplicarlos en muchos campos y tomar decisiones más informadas. Con los ejercicios resueltos presentados en este artículo, esperamos que hayas aprendido a dominar los intervalos de confianza.

Preguntas frecuentes

1. ¿Qué es un nivel de confianza?

Un nivel de confianza es