Distribución muestral de la media: varianza conocida y desconocida

La distribución muestral de la media es una herramienta estadística clave para comprender la variabilidad en los datos y cómo esta variabilidad afecta a las estimaciones de la media de una población. En este artículo, exploraremos la distribución muestral de la media en dos escenarios: cuando la varianza es conocida y cuando es desconocida.

Varianza conocida

Cuando la varianza de la población es conocida, se puede utilizar la siguiente fórmula para calcular el error estándar de la media muestral:

SE = σ / sqrt(n)

Donde SE es el error estándar, σ es la desviación estándar de la población y n es el tamaño de la muestra. Al conocer la varianza de la población, se puede calcular el error estándar de la media muestral con precisión.

La distribución muestral de la media, cuando la varianza es conocida, sigue una distribución normal con media igual a la media poblacional y una desviación estándar igual a la desviación estándar de la población dividida por la raíz cuadrada del tamaño de la muestra. Es decir:

X̄ ~ N(μ, σ / sqrt(n))

Donde X̄ es la media muestral, μ es la media poblacional y σ es la desviación estándar de la población.

Varianza desconocida

Cuando la varianza de la población es desconocida, se utiliza la desviación estándar muestral como estimador de la desviación estándar de la población. En este caso, la fórmula para calcular el error estándar de la media muestral es:

SE = s / sqrt(n)

Donde s es la desviación estándar de la muestra y n es el tamaño de la muestra. La distribución muestral de la media, cuando la varianza es desconocida, sigue una distribución t de Student con n - 1 grados de libertad. Es decir:

X̄ ~ t(n-1)

Donde X̄ es la media muestral y n es el tamaño de la muestra.

¿Cuál es la importancia de la distribución muestral de la media?

La distribución muestral de la media es importante porque permite estimar la media de una población a partir de una muestra. Al conocer la distribución muestral de la media, se pueden calcular los intervalos de confianza y los límites de tolerancia para la media poblacional. Además, la distribución muestral de la media es útil para comparar las medias de dos o más poblaciones.

¿Cómo se calculan los intervalos de confianza?

Los intervalos de confianza se calculan utilizando la fórmula:

X̄ ± t*SE

Donde X̄ es la media muestral, t es el valor crítico de la distribución t de Student con n - 1 grados de libertad y SE es el error estándar de la media muestral.

¿Cómo se comparan las medias de dos poblaciones?

Para comparar las medias de dos poblaciones, se utiliza la prueba t de Student para muestras independientes. La prueba t compara la diferencia entre las medias muestrales con la variabilidad dentro de las muestras. Si la diferencia entre las medias muestrales es significativamente mayor que la variabilidad dentro de las muestras, se concluye que las medias poblacionales son diferentes.

¿Qué es la distribución t de Student?

La distribución t de Student es una distribución de probabilidad que se utiliza para estimar la media de una población cuando la varianza de la población es desconocida. La distribución t se parece a la distribución normal, pero tiene colas más anchas debido a la variabilidad adicional introducida por el uso de la desviación estándar muestral en lugar de la desviación estándar de la población.

Conclusión

La distribución muestral de la media es una herramienta esencial para la inferencia estadística. Al comprender la distribución muestral de la media, se pueden hacer inferencias precisas sobre la media de una población a partir de una muestra. Cuando la varianza de la población es conocida, la distribución muestral de la media sigue una distribución normal, mientras que cuando la varianza es desconocida, sigue una distribución t de Student. Con esta herramienta, podemos calcular intervalos de confianza, comparar las medias de dos poblaciones y hacer inferencias precisas sobre una población.