Domina la prueba de hipótesis de proporciones con ejercicios resueltos

¿Alguna vez has tenido que realizar una prueba de hipótesis de proporciones y te has sentido abrumado por la cantidad de conceptos y fórmulas que se necesitan para entenderla? No te preocupes, en este artículo te enseñaremos de manera clara y sencilla cómo dominar esta prueba y resolver ejercicios de manera efectiva.

¿Qué es una prueba de hipótesis de proporciones?

En estadística, una prueba de hipótesis es una técnica utilizada para decidir si una afirmación hecha sobre una población es verdadera o falsa. En el caso de la prueba de hipótesis de proporciones, se trata de decidir si una proporción en una población es igual a una determinada proporción o si es diferente.

Para realizar esta prueba se necesitan los siguientes conceptos:

• Proporción muestral: es la proporción que se obtiene de una muestra de la población.
• Proporción poblacional: es la proporción real de la población que se desea conocer.
• Nivel de significancia: es el nivel de error que se está dispuesto a aceptar al rechazar o no rechazar una hipótesis.
• Valor p: es la probabilidad de obtener una muestra con un resultado igual o más extremo que el observado, si la hipótesis nula fuera verdadera.

Paso a paso para realizar una prueba de hipótesis de proporciones

Antes de realizar la prueba de hipótesis de proporciones, es necesario definir la hipótesis nula y la hipótesis alternativa.

La hipótesis nula (H0) es la afirmación que se desea probar y la hipótesis alternativa (Ha) es la afirmación opuesta. Por ejemplo:

• H0: La proporción muestral es igual a la proporción poblacional.
• Ha: La proporción muestral es diferente a la proporción poblacional.

Una vez definidas las hipótesis, se pueden seguir los siguientes pasos:

1. Calcular la proporción muestral.
2. Calcular el error estándar de la proporción muestral.
3. Calcular el valor z o el valor t dependiendo del tamaño de la muestra.
4. Calcular el valor p utilizando la tabla de distribución normal o la tabla t de Student.
5. Comparar el valor p con el nivel de significancia para decidir si se rechaza o no la hipótesis nula.

Ejercicios resueltos

A continuación, te presentamos algunos ejercicios resueltos para que puedas practicar y entender mejor cómo funciona la prueba de hipótesis de proporciones.

Ejercicio 1

Se desea saber si la proporción de estudiantes que aprueban un examen en una escuela es igual a la proporción nacional de estudiantes que aprueban dicho examen, que es del 70%. Se toma una muestra de 100 estudiantes y se observa que 60 aprueban el examen. Utilizando un nivel de significancia del 5%, ¿se puede afirmar que la proporción de estudiantes que aprueban el examen en esta escuela es diferente a la proporción nacional?

Solución:

• H0: La proporción muestral es igual a la proporción poblacional (p=0.70).
• Ha: La proporción muestral es diferente a la proporción poblacional (p≠0.70).

1. Proporción muestral: p = 60/100 = 0.60
2. Error estándar de la proporción muestral: √[(0.70)(0.30)/100] = 0.048
3. Valor z: (0.60 - 0.70)/0.048 = -2.08
4. Valor p: utilizando la tabla de distribución normal, se obtiene un valor p de 0.0188.
5. Comparación del valor p con el nivel de significancia: como el valor p es menor que el nivel de significancia (0.0188 < 0.05), se rechaza la hipótesis nula. Por lo tanto, se puede afirmar que la proporción de estudiantes que aprueban el examen en esta escuela es diferente a la proporción nacional.

Ejercicio 2

Se desea saber si la proporción de personas que prefieren el color azul es igual a la proporción de personas que prefieren el color rojo en una población. Se toma una muestra de 200 personas y se observa que 120 prefieren el color azul. Utilizando un nivel de significancia del 1%, ¿se puede afirmar que la proporción de personas que prefieren el color azul es diferente a la proporción de personas que prefieren el color rojo?

Solución:

• H0: La proporción muestral es igual a la proporción poblacional.
• Ha: La proporción muestral es diferente a la proporción poblacional.

1. Proporción muestral: p = 120/200 = 0.60
2. Error estándar de la proporción muestral: √[(0.50)(0.50)/200] = 0.035
3. Valor z: (0.60 - 0.50)/0.035 = 2.86
4. Valor p: utilizando la tabla de distribución normal, se obtiene un valor p de 0.0042.
5. Comparación del valor p con el nivel de significancia: como el valor p es menor que el nivel de significancia (0.0042 < 0.01), se rechaza la hipótesis nula. Por lo tanto, se puede afirmar que la proporción de personas que prefieren el color azul es diferente a la proporción de personas que prefieren el color rojo.

Conclusión

La prueba de hipótesis de proporciones es una herramienta muy útil en estadística para tomar decisiones sobre afirmaciones hechas sobre una población. Dominar esta prueba requiere de la comprensión de algunos conceptos básicos como la proporción muestral, la proporción poblacional, el nivel de significancia y el valor p. Siguiendo los pasos adecuados y resolviendo ejercicios prácticos, puedes llegar a dominar esta prueba y aplicarla de manera efectiva en tus análisis estadísticos.

Preguntas frecuentes

1. ¿Qué es una prueba de hipótesis de proporciones?

Es una técnica utilizada en estadística para decidir si una afirmación hecha sobre una población es verdadera o falsa en términos de proporciones.

2. ¿Qué es la hipótesis nula y la hipótesis alternativa?

La hipótesis nula es la afirmación que se desea probar y la hipótesis alternativa es la afirmación opuesta.

3. ¿Qué es el nivel de significancia?

Es el nivel de error que se está dispuesto a acept