Ejemplos resueltos: intervalo de confianza para diferencia de medias

Cuando se trata de comparar dos grupos de datos, una de las herramientas más útiles es el intervalo de confianza para la diferencia de medias. Este intervalo nos permite estimar la diferencia media entre dos poblaciones con un cierto nivel de confianza, lo que nos da información valiosa para tomar decisiones informadas.

En este artículo, resolveremos algunos ejemplos prácticos de cómo calcular el intervalo de confianza para la diferencia de medias y cómo interpretar los resultados.

Ejemplo 1: Diferencia de medias en la altura de dos poblaciones

Supongamos que queremos comparar la altura media de dos poblaciones: hombres y mujeres. Para ello, tomamos una muestra aleatoria de 50 hombres y otra de 50 mujeres y medimos su altura. Los datos obtenidos son los siguientes:

- Altura media de los hombres: 175 cm
- Desviación estándar de las alturas de los hombres: 7 cm
- Altura media de las mujeres: 163 cm
- Desviación estándar de las alturas de las mujeres: 6 cm

Para calcular el intervalo de confianza para la diferencia de medias, primero debemos calcular la diferencia de medias muestrales:

Diferencia de medias muestrales = 175 cm - 163 cm = 12 cm

Luego, calculamos la desviación estándar de la diferencia de medias muestrales:

Desviación estándar de la diferencia de medias muestrales = sqrt((7^2/50) + (6^2/50)) = 1.39 cm

A continuación, calculamos el intervalo de confianza para la diferencia de medias. Supongamos que queremos un nivel de confianza del 95%. Para ello, usamos la fórmula:

Intervalo de confianza = Diferencia de medias muestrales ± (Valor crítico * Desviación estándar de la diferencia de medias muestrales)

El valor crítico depende del nivel de confianza y del tamaño de la muestra. En este caso, como tenemos un nivel de confianza del 95% y 50 muestras en cada grupo, el valor crítico es 1.96.

Sustituyendo los valores obtenidos, tenemos:

Intervalo de confianza = 12 cm ± (1.96 * 1.39 cm) = (9.28 cm, 14.72 cm)

Interpretación: Con un nivel de confianza del 95%, podemos afirmar que la diferencia media de altura entre hombres y mujeres está entre 9.28 cm y 14.72 cm.

Ejemplo 2: Diferencia de medias en la duración de dos tratamientos

Supongamos ahora que queremos comparar la duración media de dos tratamientos médicos para una enfermedad. Tomamos una muestra aleatoria de 30 pacientes para cada tratamiento y medimos la duración de su recuperación. Los datos obtenidos son los siguientes:

- Duración media del tratamiento A: 20 días
- Desviación estándar de las duraciones del tratamiento A: 3 días
- Duración media del tratamiento B: 25 días
- Desviación estándar de las duraciones del tratamiento B: 4 días

Para calcular el intervalo de confianza para la diferencia de medias, seguimos los mismos pasos que en el ejemplo anterior. Primero calculamos la diferencia de medias muestrales:

Diferencia de medias muestrales = 25 días - 20 días = 5 días

Luego, calculamos la desviación estándar de la diferencia de medias muestrales:

Desviación estándar de la diferencia de medias muestrales = sqrt((3^2/30) + (4^2/30)) = 0.99 días

Para un nivel de confianza del 90% y 30 muestras en cada grupo, el valor crítico es 1.645. Sustituyendo los valores obtenidos, tenemos:

Intervalo de confianza = 5 días ± (1.645 * 0.99 días) = (3.62 días, 6.38 días)

Interpretación: Con un nivel de confianza del 90%, podemos afirmar que la diferencia media de duración entre los tratamientos A y B está entre 3.62 días y 6.38 días.

Ejemplo 3: Diferencia de medias en la producción de dos fábricas

Por último, consideremos un ejemplo en el que queremos comparar la producción media de dos fábricas. Tomamos una muestra aleatoria de 20 días de producción de cada fábrica y obtenemos los siguientes datos:

- Producción media de la fábrica A: 120 unidades
- Desviación estándar de la producción de la fábrica A: 10 unidades
- Producción media de la fábrica B: 110 unidades
- Desviación estándar de la producción de la fábrica B: 8 unidades

Siguiendo los mismos pasos que en los ejemplos anteriores, obtenemos:

Diferencia de medias muestrales = 120 unidades - 110 unidades = 10 unidades

Desviación estándar de la diferencia de medias muestrales = sqrt((10^2/20) + (8^2/20)) = 3.16 unidades

Para un nivel de confianza del 99% y 20 muestras en cada grupo, el valor crítico es 2.86. Sustituyendo los valores obtenidos, tenemos:

Intervalo de confianza = 10 unidades ± (2.86 * 3.16 unidades) = (0.2 unidades, 19.8 unidades)

Interpretación: Con un nivel de confianza del 99%, podemos afirmar que la diferencia media de producción entre las fábricas A y B está entre 0.2 unidades y 19.8 unidades.

Conclusión

El intervalo de confianza para la diferencia de medias es una herramienta útil para comparar dos grupos de datos y obtener información valiosa para tomar decisiones informadas. En este artículo, hemos resuelto algunos ejemplos prácticos de cómo calcular y interpretar el intervalo de confianza para la diferencia de medias. Recuerda que el nivel de confianza y el tamaño de la muestra son factores importantes a tener en cuenta al calcular el intervalo de confianza.

Preguntas frecuentes

1. ¿Qué es el intervalo de confianza para la diferencia de medias?

El intervalo de confianza para la diferencia de medias es un rango de valores en el que se estima que se encuentra la diferencia media entre dos poblaciones con un cierto nivel de confianza.

2. ¿Cómo se calcula el intervalo de confianza para la diferencia de medias?

Para calcular el intervalo de confianza para la diferencia de medias, se necesita conocer la diferencia de medias muestrales, la desviación estándar de la diferencia de medias muestrales, el nivel de confianza y el valor crítico correspondiente al nivel de confianza y al tamaño de la muestra.

3. ¿Qué información nos proporciona el intervalo de confianza para la diferencia de medias?

El intervalo de confianza para la diferencia de medias nos proporciona información sobre la diferencia media entre dos poblaciones con un cierto nivel de